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博弈论基础

作译者：刘进

出版时间：2023-07 千字数：323 版次：01-01 页数：256

开本：16开装帧： I S B N ：9787121457234

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纸质书定价：￥78.0

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第1 章博弈论的概貌与脉络. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 案例：田忌赛马. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 案例：囚徒困境. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 案例：金币的分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 博弈论的科学内涵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 博弈论的主要概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 博弈论的内容体系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 博弈论的历史脉络. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 博弈论的著名学者. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
第2 章棋类游戏的博弈分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 棋类游戏的形式化描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2 棋类游戏的博弈论建模. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.3 棋类游戏的三择一定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.4 阅读材料：其他棋类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 六子棋博弈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 围棋博弈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 点格棋博弈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 人物故事：策梅洛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1 人物简历. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 学术贡献一：集合论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.3 学术贡献二：博弈论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
第3 章基本的数学工具. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1 双变量函数的鞍点定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.2 有限集合上的概率分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
3.3 优化模型与线性对偶定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 数学优化模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 拉格朗日对偶理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 线性优化对偶模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 盈利函数形成的线性空间. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
第4 章二人博弈的纯粹策略解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 案例：俾斯麦海战. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 二人有限零和博弈的模型要素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 二人有限零和博弈的值与解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 二人有限零和博弈的解的刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 俾斯麦海战案例的求解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
第5 章二人博弈的混合策略解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1 案例：猜硬币游戏. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 二人零和博弈的混合模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 二人有限零和博弈的混合值与解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 二人有限零和博弈的混合解的刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 二人有限零和博弈的混合解的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 猜硬币游戏的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.7 人物故事：冯·诺依曼. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
5.7.1 人物简历. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.7.2 学术贡献一：数学公理化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.7.3 学术贡献二：纯粹数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7.4 学术贡献三：应用数学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7.5 学术贡献四：博弈论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.7.6 学术贡献五：计算机. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.7.7 著作与荣誉等身. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.7.8 有趣的轶事. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
第6 章多人博弈的纯粹纳什均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1 案例：囚徒困境. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 纯粹策略的基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 纯粹策略的支配均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4 纯粹策略的安全均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5 纯粹策略的纳什均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 多类均衡之间的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7 囚徒困境问题的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
第7 章多人博弈的混合纳什均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1 混合策略的基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2 混合策略的支配均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3 混合策略的安全均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4 混合策略的纳什均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.5 混合策略的颤抖手均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.6 混合策略的相关均衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.7 多类均衡之间的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.8 猎鹿问题的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.9 人物故事：纳什. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.9.1 人物简历. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.9.2 学术贡献与荣誉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.9.3 艺术形象. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.10 人物故事：吴文俊. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.10.1 人物简历. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.10.2 学术贡献一：拓扑学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.10.3 学术贡献二：人工智能. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.10.4 学术贡献三：数学史. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.10.5 学术贡献四：博弈论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
第8 章合作博弈的模型与解概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1 合作博弈的基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.2 合作博弈的等价表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3 合作博弈的解概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
第9 章解概念之核心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.1 核心的定义和性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.2 核心的非空性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2.1 平衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2.2 非空性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.3 平衡与全平衡覆盖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.4 核心的一致性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.5 市场博弈的核心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.6 可加博弈的核心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.7 凸博弈的核心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.8 一般联盟的核心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.8.1 一般联盟核心的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.8.2 一般联盟核心的性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
第10 章解概念之沙普利值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.1 数值解的公理体系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.2 满足部分公理的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.3 沙普利值经典刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.4 沙普利值的边际刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
10.5 凸博弈的沙普利值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.6 沙普利值的一致性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.7 一般联盟沙普利值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.7.1 一般联盟沙普利值的公理体系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.7.2 一般联盟沙普利值的定义性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.8 沙普利-舒比克权力指数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
10.9 人物故事：沙普利. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.9.1 人物简历. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.9.2 学术贡献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.9.3 中国情结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
第11 章博弈论进阶学习. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.1 不确定博弈论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.2 博弈学习理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
11.3 博弈论与智能. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

前言
博弈论是刻画竞争与合作环境下交互式决策的系统性科学理论，是数学的一个重要分支，主要研究交互决策的模型、解概念、性质、计算和应用等。博弈论涉及的要素包括参与人、行动策略、盈利函数、信息、顺序结构、认知逻辑等。
按照参与人是否合作，经典的博弈论粗略划分为非合作博弈与合作博弈。按照信息的完备程度和决策的顺序结构，非合作博弈又划分为完全信息静态博弈、完全信息动态博弈、不完全信息静态博弈和不完全信息动态博弈四种类型，对应的解概念包括纳什均衡、颤抖手均衡、子博弈完美均衡、序贯均衡、贝叶斯均衡、完美贝叶斯均衡等，后五者都是对纳什均衡的精炼和筛选。按照效用是否可以转移，合作博弈又划分为可转移效用合作博弈和不可转移效用合作博弈，对应的解概念包括稳定集、核心、沙普利值、谈判集等，合作博弈解概念都是基于公平、稳定分配的原则来设计的。
经典博弈论的性质研究主要聚焦多类型解概念的存在性、唯一性和复杂度，一般而言，存在性是可以保证的，但是唯一性往往不可兼得，解概念的复杂度都很高，给计算求解带来了很多困难，也催生了新型的复杂度概念。
经典的博弈模型与不同的数学结构融合，产生了新型的博弈论分支：与网络科学相结合产生了网络博弈论，与控制科学相结合产生了微分博弈论，与随机过程相结合产生了随机博弈论，与模糊理论相结合产生了模糊博弈论，与灰色理论相结合产生了灰色博弈论，与扩散方程相结合产生了平均场博弈论，与算法复杂度相结合产生了算法博弈论等。经典的博弈论在不同的场景应用中产生了新型的博弈论应用分支：在经济领域称之为经济博弈论，在社会领域称之为社会博弈论，在政治领域称之为政治博弈论，在管理领域称之为管理博弈论，在生态领域称之为进化博弈论，在智能领域称之为智能博弈论，在军事领域称之为军事博弈论等。
博弈论备受诺贝尔经济学奖的青睐，从1994 年的纳什、泽尔腾和海萨尼开始，至今陆续已有二十余位与博弈论研究密切相关的学者获得此奖；博弈论也颇受图灵奖的重视，数位研究博弈论解概念复杂度的理论计算机专家获得此奖。博弈论在人工智能中发挥了重要作用，是典型的人工智能系统（如Alpha Go、Liberatus、Alpha Star 等）背后的重要数学机理。
本书是写给本科生的一本关于博弈论的基础教材，主要介绍博弈论的概貌与脉络、棋类游戏的博弈分析、基本的数学工具、二人博弈的纯粹策略解和混合策略解、多人博弈的纯粹纳什均衡和混合纳什均衡、合作博弈的模型与解概念、解概念之核心、解概念之沙普利值及博弈论进阶学习。
全书分为11 章，各章的主要内容和作用如下。
第1章通过典型例子引出博弈论的基本模型，随后介绍了博弈论的基本定义、基本要素、基本分类，梳理了博弈论的历史脉络，介绍了博弈论著名学者的生平事迹。
棋类游戏是典型的博弈问题，第2章介绍了棋类游戏的博弈论建模和让人比较迷惑的三择一定理，这也是典型智能系统产生的基础。
博弈论是一门数学理论，具体来说是运筹学的一个分支，为了支撑博弈论模型的构建，需要底层的数学理论作为工具。在本书介绍的博弈论范围之内，双变量函数的鞍点定理、有限集合上的概率分布、优化模型与线性对偶理论、盈利函数形成的线性空间是所需要的数学工具。第3章详细介绍了这些基本的数学工具。
博弈论发展早期最成功的当属二人有限零和博弈。第4章和第5章介绍了二人有限零和博弈的理论，特别是冯.诺依曼的极小极大定理，该定理于1928 年提出，时至今日在智能时代仍然发挥着重要作用。
二人零和博弈是重要的博弈模型，但是也有其局限性。第6章、第7章一方面突破了参与人数量的限制，另一方面突破了盈利函数零和的限制。第6章介绍了多人策略型博弈（完全信息静态博弈）的纯粹策略解概念，包括支配均衡、安全均衡和纳什均衡及多类均衡之间的关系，特别是利用不动点定理在一定条件下证明了纳什均衡的存在性。有限完全信息静态博弈的纳什均衡不一定存在，为了解决这个问题，第7 章介绍了混合扩张方法，包括混合策略的定义和混合纳什均衡的存在性，此外还介绍了混合策略的颤抖手均衡和相关均衡。
除非合作博弈外，合作博弈也是博弈论的一个重要分支。第8章介绍了合作博弈的模型与解概念；第9章和第10章分别介绍了合作博弈的解概念之核心和沙普利值，并论证了它们的性质，在这个过程中，线性优化及其对偶理论扮演了重要角色。
作为一本高等学校本科生相关课程的教材，自然不能太厚、内容太多，只能择其精要简述。对于大多数只需要初步了解博弈论的学生而言，这已经足够，但是对于其有浓厚科研兴趣的学生而言，这就远远不够了，所以第11 章给出了有关博弈论进阶学习的建议。
本书的最大特色是公理化写作，采用了简单清晰的纯数学风格，学生只要掌握了初步的微积分、线性代数和概率论知识，就可以在博弈论课程的学习中游刃有余。
鉴于作者水平有限，书中难免有不足之处，请各位读者批评指正。
编者
2023 年1 月于长沙

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