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微积分原理（下）

作译者：崔建莲,王勇

出版时间：2023-10 千字数：555 版次：01-01 页数：356

开本：16开装帧： I S B N ：9787121464249

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目录
第10 章 多元函数的极限与连续··········1
10.1 n ? 中的点集拓扑和点列··········.1
10.1.1 n ? 中的点集拓扑···················1
10.1.2 n ? 中的点列·························6
10.1.3 n ? 的完备性·························7
*10.1.4 n ? 中的等价范数···················8
习题10.1 ··································.10
10.2 多元函数与多元向量值函数····.11
10.2.1 多元函数的概念··················.11
10.2.2 二元函数的图像··················.12
10.2.3 多元向量值函数··················.16
习题10.2 ··································.17
10.3 多元函数的极限···················.18
10.3.1 多元函数的重极限···············.18
10.3.2 多元函数的累次极限············.19
10.3.3 向量值函数的极限···············.21
习题10.3 ··································.23
10.4 多元函数和向量值函数的
连续性·······························.24
10.4.1 多元函数连续的概念············.24
10.4.2 多元函数对各个变量的分别
连续·······························.26
10.4.3 多元连续函数的性质············.27
习题10.4 ··································.28
第11 章 多元函数微分学················.30
11.1 多元函数的偏导数与全微分····.30
11.1.1 多元函数的偏导数···············.30
11.1.2 多元函数的全微分···············.32
11.1.3 函数可微的条件··················.34
11.1.4 全微分在函数近似计算中的
应用······························.37
习题11.1 ··································.38
11.2 高阶偏导数与复合函数的
微分··································.39
11.2.1 高阶偏导数·······················.39
11.2.2 复合函数的微分··················.41
11.2.3 一阶全微分的形式不变性·······.43
习题11.2 ··································.44
11.3 方向导数与梯度···················.46
11.3.1 方向导数·························.46
11.3.2 梯度······························.48
习题11.3 ··································.50
11.4 向量值函数的微分················.51
11.4.1 向量值函数的微分···············.51
11.4.2 复合映射的微分··················.54
习题11.4 ··································.55
11.5 隐函数微分法与逆映射微分法··.56
11.5.1 隐函数的微分····················.56
11.5.2 逆映射的微分····················.64
习题11.5 ··································.64
第12 章 多元函数微分学应用··········.67
12.1 多元函数微分学的几何应用····.67
12.1.1 空间曲线·························.67
12.1.2 空间曲面的切平面与法线·······.69
12.1.3 空间曲线的切线与法平面·······.72
习题12.1 ··································.76
12.2 高阶全微分与泰勒公式··········.77
12.2.1 高阶全微分·······················.77
12.2.2 泰勒公式·························.79
习题12.2 ··································.82
12.3 多元函数的极值···················.82
12.3.1 无条件极值·······················.83
12.3.2 条件极值·························.87
习题12.3 ··································.95
第13 章 重积分····························.98
13.1 二重积分的概念及性质··········.98
13.1.1 二重积分的概念··················.98
13.1.2 可积的条件·······················100
13.1.3 二重积分的性质··················101
习题13.1 ··································103
13.2 二重积分的计算···················104
13.2.1 直角坐标系·······················104
13.2.2 二重积分的坐标变换············108
习题13.2 ·································.114
13.3 三重积分···························.116
13.3.1 直角坐标系······················.117
13.3.2 一般坐标变换···················.119
13.3.3 柱坐标变换·······················120
13.3.4 球坐标变换·······················122
习题13.3 ··································124
13.4 重积分在几何和物理中的
应用··································125
13.4.1 空间曲面的面积··················126
13.4.2 重积分在物理中的应用··········128
习题13.4 ··································131
*13.5 n 重积分····························132
13.5.1 若当测度的定义··················132
13.5.2 若当可测的等价条件············134
13.5.3 若当测度的运算性质············135
13.5.4 n 重积分··························138
13.5.5 n 维球坐标变换··················139
第14 章 曲线积分·························143
14.1 第一型曲线积分——关于弧长
的曲线积分·························143
14.1.1 第一型曲线积分的概念··········143
14.1.2 第一型曲线积分的性质·········.145
14.1.3 第一型曲线积分的计算·········.146
14.1.4 柱面侧面积的计算··············.148
习题14.1 ·································.149
14.2 第二型曲线积分——关于坐标
的曲线积分························.150
14.2.1 第二型曲线积分的概念·········.150
14.2.2 两类曲线积分之间的关系······.151
14.2.3 第二型曲线积分的计算·········.151
习题14.2 ·································.155
14.3 格林公式···························.157
14.3.1 格林公式························.157
14.3.2 曲线积分与积分路径无关的
条件·····························.160
14.3.3 求微分式的原函数··············.161
14.3.4 全微分方程······················.164
习题14.3 ·································.166
第15 章 曲面积分························.170
15.1 第一型曲面积分——关于面积
的曲面积分························.170
15.1.1 第一型曲面积分的概念·········.170
15.1.2 第一型曲面积分的计算·········.171
习题15.1 ·································.174
15.2 第二型曲面积分——关于坐标
的曲面积分························.175
15.2.1 第二型曲面积分的概念·········.175
15.2.2 第二型曲面积分的计算·········.178
习题15.2 ·································.181
15.3 高斯公式和斯托克斯公式······.182
15.3.1 高斯公式························.182
15.3.2 斯托克斯公式···················.185
15.3.3 空间曲线积分与积分路径无关
的条件···························.189
习题15.3 ·································.190
15.4 场论初步···························.192
15.4.1 梯度场···························.192
15.4.2 散度场···························.193
15.4.3 旋度场···························.195
15.4.4 三种运算的联合运用············196
15.4.5 平面向量场·······················196
*15.4.6 曲线坐标系·······················198
15.4.7 正交曲线坐标系下的梯度、旋度、
散度和拉普拉斯算子············200
习题15.4 ··································204
第16 章 数项级数·························206
16.1 级数的敛散性······················207
16.1.1 级数收敛与发散的概念··········207
16.1.2 收敛级数的性质··················208
习题16.1 ··································210
16.2 正项级数···························.211
习题16.2 ··································220
16.3 任意项级数·························221
16.3.1 莱布尼茨（Leibniz）判别法····221
16.3.2 绝对收敛级数的性质············222
16.3.3 条件收敛级数的两个判别法·····226
*16.3.4 无穷乘积·························229
习题16.3 ··································229
第17 章 函数项级数······················232
17.1 函数列·······························232
17.1.1 函数列的一致收敛···············232
17.1.2 函数列极限函数的分析性·······237
习题17.1 ··································238
17.2 函数项级数·························239
17.2.1 函数项级数的收敛域············239
17.2.2 函数项级数的一致收敛性·······240
17.2.3 和函数的分析性··················243
*17.2.4 两个例子·························247
习题17.2 ··································251
17.3 幂级数·······························252
17.3.1 幂级数的收敛域与收敛半径·····252
17.3.2 幂级数和函数的分析性··········255
习题17.3 ··································261
17.4 函数的幂级数展开················262
17.4.1 泰勒级数、麦克劳林级数·······263
17.4.2 函数可展开为泰勒级数的条件····264
17.4.3 基本初等函数的麦克劳林级数··.265
17.4.4 利用幂级数求数的近似值······.268
习题17.4 ·································.270
第18 章 傅里叶级数·····················.271
18.1 函数的傅里叶级数···············.272
18.1.1 以2π 为周期函数的傅里叶级数··.272
18.1.2 以2l 为周期函数的傅里叶级数··.278
习题18.1 ·································.280
18.2 傅里叶级数的逐点收敛性······.281
18.2.1 傅里叶级数的性质··············.281
18.2.2 傅里叶级数的逐点收敛·········.284
习题18.2 ·································.291
18.3 傅里叶级数的平方平均收敛···.292
18.3.1 正交投影及Bessel 不等式······.292
18.3.2 三角多项式······················.295
18.3.3 Fejér 核与一致逼近·············.296
18.3.4 均方收敛························.299
习题18.3 ·································.306
18.4 傅里叶积分简介··················.308
18.4.1 傅里叶级数的复数形式·········.308
18.4.2 傅里叶积分：启发式介绍······.309
18.4.3 傅里叶积分：严格理论·········.312
习题18.4 ·································.318
18.5 函数逼近定理·····················.319
18.5.1 魏尔斯特拉斯第一逼近定理····.319
18.5.2 魏尔斯特拉斯第二逼近定理····.325
习题18.5 ·································.327
第19 章 含参积分························.328
19.1 含参定积分························.328
习题19.1 ·································.332
19.2 含参广义积分·····················.333
19.2.1 含参广义积分的一致收敛性····.333
19.2.2 含参广义积分的分析性·········.336
19.2.3 欧拉积分：伽马函数与贝塔
函数·····························.342
习题19.2 ·································.346
参考文献······································.348

微积分是理工科高等学校非数学类专业最基础、重要的一门核心课程．许多后继数学
课程及物理和各种工程学课程都是在微积分课程的基础上展开的，因此学好这门课程对每
一位理工科学生来说都非常重要．本书在传授微积分知识的同时，注重培养学生的数学思
维、语言逻辑和创新能力，弘扬数学文化，培养科学精神．
20 世纪著名的数学家冯·诺伊曼曾说：“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的
重要性怎样估计也是不会过分的．”
微积分的起源要追溯到17 世纪60 年代中期．经过人类漫长的岁月，牛顿、莱布尼茨
两位先驱在前人工作的基础上各自独立创立了微分法和积分法，并且发现它们是对立统一
的（表现为“微积分基本定理”）．后经伯努利兄弟和欧拉的改进、扩展及提高，微积分上
升到了分析学的高度．随后，数学大师柯西、黎曼、刘维尔和魏尔斯特拉斯赋予了微积分
特别的严格性和精确性．然而随着应用的不断扩大和深化，数学家们发现，严格性和精确
性只解决了逻辑推理的基本问题，而逻辑推理所依存的理论基础才是更根本的问题．之后，
当近代数学天才康托尔、戴德金、贝尔、博雷尔、勒贝格把严格性和精确性同集合论与艰
深的实数理论结合起来后，微积分的创建过程才到达终点．
2018 年，教育部等六部门联合发布《关于实施基础学科拔尖学生培养计划2.0 的意见》，
其中提出全面落实立德树人根本任务，建设一批国家青年英才培养基地，创新学习方式，
促进科教融合，选拔培养一批基础学科拔尖人才．经过5 年的努力，“基础学科拔尖学生培
养计划”的引领示范作用更加凸显，一批勇攀科学高峰、推动科学文化发展的优秀拔尖人
才崭露头角，创新型人才不断涌现，我国在某些方面的科研技术已经走在世界前列，同时
对科研人员提出更高的数理要求．为落实科教兴国、人才强国、创新驱动发展战略，培养
更优秀的专业科研人才，2020 年，教育部出台了“强基计划”，即部分高校开展基础学科
招生改革试点，突出基础学科的支撑引领作用，夯实基础学科能力素养，重点破解基础学
科领军人才短缺和长远发展的瓶颈问题．近年来，清华大学等一些高水平学校在创新拔尖
人才培养方面正在进行有益的尝试，作为清华大学对拔尖学生实施“精英教育”的实验区，
未央书院、探微书院、致理书院等几个书院秉承“成人成才、通专融合、学术型、国际化、
高素质、重创新”的培养理念，帮助学生奠定学术志趣、夯实数理基础，面向国家需求，
着眼全球发展，立足关键领域，高起点、高标准、高质量培养人才，把学生发展和国家发
展紧密结合起来，强学生之基、强国家之基，以“探索路子、培育苗子”为使命宗旨，培
养造就未来的学术带头人、工程领军等杰出人才．
本套教材是对创新拔尖人才培养的重要探索，在工业和信息化部“十四五”规划教材
建设的要求下，坚持以学生为中心，通过深度与广度的探索，强化学生的数理基础，也是
针对清华大学未央书院、探微书院、致理书院、新雅书院等及其他高校创新拔尖学生编写
的微积分教材．作者基于多年的教学实践经验，对已有微积分教材的编排方式做了一些与
时俱进的改革，对内容做了适当删减和增补，除如传统教材一样重视对基础知识和基本技
能的传授外，还增加了一些分析学新内容及在物理、力学等学科中的应用．在本书的编写
过程中，我们仔细研读了国内外相关优秀教材，总结分析了多年来讲授微积分的教学经验，
通过对知识的传授，提高学生应用数学解决实际问题的能力，培养学生应用知识并进一步
更新知识的能力．
本套教材分上、下两册．极限是微积分的基本理论，上册先介绍了数列极限，对实数
集的完备性进行了深入探讨，为学生进一步学好微积分奠定坚实的理论基础．在此基础上，
进一步介绍函数极限与连续、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、
广义积分和常微分方程．下册内容包括多元函数的极限与连续、多元函数微分学及其应用、
重积分、曲线积分、曲面积分、数项级数、函数项级数、傅里叶级数、含参积分．结合学
生的实际情况，与现有的微积分教材相比较，增加了一些新的内容，如上、下极限，方程
求根的牛顿迭代公式，函数黎曼可积的勒贝格定理，定积分在分析学方面的应用，常系数
线性常微分方程的应用——质点的振动，完善条件极值进而最值的判断依据，若当测度理
论及傅里叶积分等．多元函数的微分学内容后紧跟积分学内容，将含参变量积分放到级数
理论后，既保证了课程体系的连贯性，又相对节省了授课时间，更有助于学生对知识的理
解，从而使微积分课程的理论体系更完整，使课程的教学工作更贴近当代数学的发展，
更好地服务后续课程．
本套教材在清华大学很多院系使用过若干次，由作者根据多年微积分课程的讲授整理
编写而成，教材中所有内容由崔建莲、王勇合力完成．带“*”的章节是选学内容，供学有
余力的学生课后拓展学习．上、下两册可分两学期使用，课堂讲授均为75 学时，每学期还
需配24～26 学时的习题讨论课．
本套教材可作为高等院校理工科专业微积分课程的教材，书中有丰富的例题讲解，也
配有大量的习题练习，既适用于教师课堂讲课参考，又适用于学生自学，还可供准备考研
的学生复习使用．
本套教材中对微积分课程各个部分历史发展所做的介绍，基本以莫里斯·克莱因所著
的《古今数学思想》和威廉·邓纳姆所著的《微积分的历程》为依据．
在本套教材的写作中，我们力求减少差错，但因编写时间较为仓促，疏漏和不足之处
在所难免，敬请广大读者谅解并给予指正．作者谨在此致以诚挚的谢意．

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