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Gabor框架理论研究可追溯至1946年，Gabor首次提出了Gabor系的概念，对Gabor系严格的数学分析始于Janssen1980年左右发表的系列论文。自此，Gabor框架理论迅速发展，并广泛应用于工程及无线通信等领域。目前，全空间中的Gabor框架理论研究已取得丰硕成果，其子空间Gabor框架理论研究取得了一定进展。本书关注有理时频Gabor框架，分别在全空间及子空间的背景下探讨了通常有理时频Gabor框架、混合有理时频Gabor框架、离散混合有理时频Gabor框架、向量值有理时频Gabor框架的刻画及其Gabor对偶的构造问题，并在此方面得到了丰富的结论；同时，利用调和分析工具，通过小波无条件基刻画了高维Lebesgue空间。本书可用作数学专业小波分析研究方向的研究生教材，也可供相关领域的研究人员参考。

第1 章预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 记号. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 研究背景. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第2 章小波无条件基. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 定理2.1.2 的证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 定理2.1.3 和定理2.1.1 的证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
第3 章子空间通常有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Gabor 对偶. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 应用至全空间的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第4 章全空间混合有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 辅助结论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 主要结果证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 一些例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
第5 章子空间混合有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 一些辅助结论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Gabor 对偶刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 一个注记及一个例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
第6 章子空间离散混合有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Zak 变换及Zak 变换矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
6.4 Gabor 对偶刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5 通常离散Gabor 框架的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
第7 章子空间向量值有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2 框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
7.3 对偶的唯一性刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Balian-Low 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
第8 章周期子空间向量值有理时频Gabor 框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2 完备性及框架刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3 对偶刻画及表达. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.4 例子定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
后记. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1952 年, Duffin 和Schaeffer 在研究非调和傅里叶级数时提出了框架的概念,但这一概念在当时并未引起学者的关注. 直至1980 年, Young 于一般Hilbert空间背景下引入框架, 并致力于用与其相关的新方法解决非调和傅里叶级数理论中的经典问题, 框架概念才引起广大学者的关注. 20 世纪80 年代中期, 小波分析的产生为框架理论注入了新的活力. 与此同时, 1986 年, Daubechies, Grossmann及Meyer 证明了存在具有良好时频局部化性质的Gabor 框架. 这一工作引起了当时数学学者及工程领域专家的关注. 自此, 小波、Gabor 框架理论迅速发展, 极大地推动了框架理论的数学研究和工程应用, 被广泛地应用于滤波器组理论、Sigma-Delta 量化、信号处理及无线通信等领域.
小波与Gabor 框架是两类由酉系生成、具有酉结构的框架, 二者的对偶框架具有相应的小波或Gabor 结构. 这使得与抽象框架相较而言, 小波、Gabor框架在实际应用中更易于设计框架及对偶框架, 其理论的核心问题是构造框架及寻找性质、结构良好的对偶框架以实现信号重构. 目前, 全空间L2(Rd) 中的(非) 齐次小波框架理论及Gabor 框架理论已取得丰硕成果, 其子空间上的小波与Gabor 框架理论取得一定进展. 其中, 子空间Gabor 框架理论研究在内容层面包括: 寻找Gabor 系, 使其成为其张成闭子空间的框架、Riesz 基, 并刻画其Gabor 对偶框架; 给定一个子空间, 寻找其Gabor 框架与Riesz 基, 并讨论其Gabor 对偶框架. 具体研究涉及连续子空间、离散子空间以及向量值Gabor 框架理论.
注意, 小波框架是小波基这一概念的推广. 如何应用恰当的小波基来刻画通常Lebesgue 空间是小波分析中的基础问题之一. Zak 变换矩阵是研究有理时频Gabor 框架理论的有效工具. 作者近年来的研究工作涉及上述问题, 并通过新的Zak 变换矩阵研究子空间有理时频Gabor 框架理论. 本书汇集了这些研究结果,内容安排如下.
第1 章给出本书所需的概念与记号.
第2 章关注小波基刻画通常Lebesgue 空间问题: 假定小波函数满足一定条件, 联系一般isotropic 伸缩矩阵的小波基一定是Lp(Rd)(1 ＜ p ＜ ∞) 空间的无条件基.
第3 章关注子空间通常有理时频Gabor 框架. 通过Zak 变换矩阵, 刻画了子空间通常Gabor 框架, Riesz 基, 标准正交基以及I、II 型Gabor 对偶框架的唯一性; 给出了一批子空间通常有理时频Gabor 框架、Riesz 基、标准正交基的例子, 并给出了其I、II 型Gabor 对偶的明确表达. 作为上述结论的应用, 我们刻画了L2(R) 中的Gabor 框架、Riesz 基、标准正交基, 并得到了L2(R) 中多窗口Gabor 框架的Gabor 对偶的参数化表达.
第4 章关注全空间混合有理时频Gabor 框架. 利用Zak 变换矩阵, 刻画了全空间混合多窗口Gabor 框架、Riesz 基及其Gabor 对偶框架, 并提供一些例子说明了这种Zak 变换矩阵方法的有效性.
第5 章关注子空间混合有理时频Gabor 框架. 与通常多窗口Gabor 框架相较而言, 混合多窗口Gabor 框架的时频平移因窗口函数的变化而不同. 通过恰当的Zak 变换矩阵, 刻画了子空间混合有理时频Gabor 框架及其Gabor 对偶框架, 得到了Gabor 对偶框架的明确表达, 刻画了Gabor 对偶框架的唯一性, 并且提供了一些例子. 这些例子表明: 混合多窗口Gabor 框架与通常多窗口Gabor框架有本质不同.
第6 章关注子空间离散混合有理时频Gabor 框架. 利用恰当的Zak 变换矩阵, 刻画了子空间离散混合多窗口Gabor 框架、Riesz 基、标准正交基及其Gabor 对偶框架; 特别地, 对于子空间离散通常多窗口Gabor 框架(即所有窗口具有相同的时频平移), 刻画了其I、II 型Gabor 对偶的唯一性, 给出了一些Gabor 框架的例子, 并给出其I、II 型Gabor 对偶的明确表达.
第7 章关注张成子空间向量值有理时频Gabor 框架. 通过引入恰当的Zak变换矩阵, 刻画了向量值张成子空间Gabor 框架、Riesz 基、标准正交基, 及其I、II 型Gabor 对偶的唯一性; 利用对偶唯一性的结果, 获得了张成子空间向量值Gabor 框架的Balian-Low 定理, 同时指出Ron-Shen 对偶准则在一般的向量值子空间中不成立.
第8 章关注周期子空间向量值有理时频Gabor 框架. 给定S 是R 的一个周期子集, 利用Zak 变换矩阵, 刻画了L2(S, CL) 中Gabor 系的完备性以及Gabor框架条件; 对于一般的Gabor 框架, 刻画了其I、II 型Gabor 对偶的充要条件,建立了I、II 型Gabor 对偶的参数化表达; 同时给出了一个例子, 说明了Zak 变换矩阵方法的有效性.
本书在宁夏自然科学基金(No. 2022AAC05037)、国家自然科学基金(No.12061002) 及宁夏托举人才项目(No. TJGC2019014) 的资助、北方民族大学数学与信息科学学院的支持下撰写完成. 撰写本书过程中, 作者参阅了国内外相关
书籍及文献资料, 但由于能力有限, 书中仍存在不妥之处, 请读者给予指正！
张岩
2023 年2 月

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小波与Gabor分析的若干问题研究