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矩阵理论

作译者：张子叶等

出版时间：2024-04 千字数：329 版次：01-01 页数：192

开本：16开装帧： I S B N ：9787121477386

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纸质书定价：￥42.0

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目录

第1章  矩阵理论基础	1
1.1  矩阵的初等变换	1
1.1.1  矩阵的初等变换的概念	1
1.1.2  初等矩阵	2
1.1.3  利用初等变换求矩阵逆的方法	3
1.2  分块矩阵	5
1.2.1  分块矩阵的概念	5
1.2.2  分块矩阵的运算	6
1.2.3  分块对角矩阵	7
1.3  矩阵的特殊乘积	9
1.3.1  Kronecker积	9
1.3.2  Hadamard积	11
1.4  矩阵的特征值与特征向量	13
1.5  矩阵可对角化的条件	16
1.5.1  相似对角化	16
1.5.2  酉相似对角化	20
习题1	23
第2章  线性空间与线性变换	26
2.1  线性空间	26
2.1.1  线性空间的概念与性质	26
2.1.2  向量组的线性相关性	28
2.1.3  基、维数与坐标	29
2.1.4  基变换与坐标变换	31
2.2  线性子空间	34
2.2.1  线性子空间的概念	34
2.2.2  子空间的交与和	37
2.2.3  子空间的直和	39
2.3  线性变换	41
2.3.1  线性变换的概念	41
2.3.2  线性变换的运算	42
2.3.3  线性变换的矩阵表示	44
2.4  线性变换的值域、核及不变子空间	49
2.4.1  线性变换的值域与核	49
2.4.2  线性变换的不变子空间	50
2.5  线性空间的同构	51
2.6  内积空间	52
2.6.1  内积空间的基本概念	53
2.6.2  标准正交基	55
2.6.3  正交子空间	58
2.6.4  正交变换与酉变换	60
2.6.5  向量到子空间的距离与最小二乘法	61
习题2	63
第3章  范数理论	66
3.1  向量范数	66
3.1.1  向量范数的概念与性质	66
3.1.2  向量范数的连续性与等价性	69
3.2  矩阵范数	70
3.2.1  矩阵范数的概念与性质	70
3.2.2  矩阵的算子范数	73
习题3	76
第4章  矩阵的Jordan标准型	77
4.1  线性变换的特征值与特征向量	77
4.1.1  特征值与特征向量	77
4.1.2  特征子空间	79
4.2   矩阵	80
4.2.1   矩阵的概念	80
4.2.2   矩阵的初等变换与等价	81
4.2.3   矩阵的Smith标准型	83
4.3  不变因子与初等因子	85
4.3.1   矩阵的行列式因子	85
4.3.2   矩阵的不变因子与初等因子	87
4.4  数字矩阵的Jordan标准型	89
4.4.1  矩阵相似的条件	90
4.4.2  Jordan标准型及其计算	91
4.4.3  变换矩阵	95
4.5  凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式	97
4.5.1  凯莱-哈密顿定理	97
4.5.2  矩阵的最小多项式	99
习题4	105
第5章  矩阵分析	108
5.1  矩阵序列与矩阵级数	108
5.1.1  向量序列与矩阵序列	108
5.1.2  矩阵级数	112
5.1.3  矩阵幂级数	114
5.2  矩阵函数	117
5.2.1  矩阵函数的定义	117
5.2.2  矩阵函数的计算	120
5.3  函数矩阵	125
5.3.1  函数矩阵的微分与积分	125
5.3.2  数量函数对矩阵变量的导数	127
5.3.3  函数矩阵对矩阵变量的导数	129
5.4  矩阵分析的应用	132
5.4.1  一阶常系数线性微分方程组	132
5.4.2  n阶常系数线性微分方程	135
习题5	138
第6章  矩阵分解	141
6.1  矩阵的三角分解	141
6.1.1  Gauss消元法的矩阵表述	141
6.1.2  矩阵的三角分解	143
6.1.3  分块矩阵的三角分解	146
6.2  矩阵的满秩分解	147
6.2.1  矩阵的满秩分解	147
6.2.2  用矩阵行最简形求满秩分解	149
6.2.3  行满秩矩阵或列满秩矩阵的性质	150
6.2.4  长方矩阵的左、右逆	151
6.3  矩阵的QR分解	152
6.3.1  用Schmidt正交代求矩阵的QR分解	152
6.3.2*  用初等旋转矩阵求矩阵的QR分解	155
6.3.3*  用初等反射矩阵求矩阵的QR分解	158
6.4  矩阵的奇异值分解	161
习题6	166
第7章  矩阵的广义逆	168
7.1  广义逆矩阵的基本概念	168
7.2  减号逆 	169
7.2.1  减号逆 的定义及性质	169
7.2.2   的计算	170
7.3  加号逆 	173
7.3.1  加号逆 的定义及性质	173
7.3.2   的计算	175
7.4  两种广义逆在解线性方程组中的应用	179
7.4.1  线性方程组的求解问题	179
7.4.2  相容线性方程组的通解与减号逆 	179
7.4.3  矛盾方程组的求解问题与加号逆 	181
习题7	183
参考文献	185

前言

矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。作为一个独立的数学分支，矩阵理论已广泛应用于现代科技的各个领域。例如，在数值分析、最优化理论、概率统计、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学、管理科学与工程等学科领域，矩阵理论和方法发挥着十分重要的作用。因此，对理工科硕士研究生来说，矩阵理论和方法已成为必备的数学基础。
编者多年来在山东科技大学为理工科硕士研究生讲授矩阵理论课程。2022年年底，编者有幸承担了山东省“矩阵理论（双语）”优质研究生课程建设项目。借此机会，编者把出版一本矩阵理论教材作为该项目的主要工作之一。
本书以大学通用的工科线性代数课程作为预备基础，共7章，第1～3章由张子叶和王向华编写，第4、5章由武波编写，第6、7章由朱见广编写。第1章介绍矩阵理论基础，包括矩阵的初等变换、分块矩阵、矩阵的特殊乘积、矩阵的特征值与特征向量及矩阵可对角化的条件，主要对前期线性代数部分内容进行回顾并为后续章节的学习做准备；第2章介绍线性空间与线性变换，这部分内容为线性代数知识的推广和深化；第3章介绍范数理论，这是矩阵分析有关内容的重要基础；第4～6章主要介绍矩阵的Jordan标准型、矩阵分析及矩阵分解，这些内容是理工科硕士研究生和科技人员在矩阵理论研究、矩阵计算及应用中大量用到的工具与手段；第7章介绍矩阵的广义逆及其在解线性方程组中的应用。每章均配有一定数量的习题，供读者选用。
在本书的编写过程中，编者参考了许多教材，在此谨向教材作者表示衷心的感谢。由于编者水平有限，加之成书时间较紧，书中难免存在不当之处，敬请读者批评指正。
                                                    
编者
2024年1月

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